Как вывести тип производного класса

Если я правильно понимаю вашу проблему, вам нужно использовать виртуальные функции. Если вы хотите вызвать функцию для объектов и убедиться, что вызывается функция правильного типа, сделайте свой function виртуальным. Поэтому вам нужно объявить его в своем классе Base. Кроме того, вам нужно, чтобы ваш вектор был вектором указателей на Base. Затем, когда вы вызываете свой function для объектов вектора, он вызывает функцию из производного класса, если объекты действительно относятся к производному типу.

Таким образом, вам не нужно выяснять тип объектов, вы просто вызовете виртуальную функцию, и она обнаружит, что это за тип объекта, и вызовет правильную функцию.

Я не уверен, что понял, что вы хотите, но будет ли эта модификация вашего кода работать для вас? Таким образом, вам либо вообще не нужно выводить тип, либо вы можете получить виртуальный метод type(), который вернет вам перечисление с некоторым уникальным значением для каждого типа.

#include <memory>
#include <string>
#include <vector>
#include <iostream>

class Base {
public:
  virtual void function() = 0;
  virtual ~Base() = default;
};

template <class T> class Derived : public Base {
public:
  void function() override {
      // to produce some output
      std::cout << typeid(T).name() << std::endl; 
  }
};

class Test {
public:
  std::vector<std::unique_ptr<Base>> objects;
};

int main() {
  Test test;
  test.objects.push_back(std::make_unique<Derived<int>>());
  test.objects.push_back(std::make_unique<Derived<std::string>>());
  for (auto &ptr : test.objects) {
      ptr->function();
  }
}

Альтернативным решением этой проблемы является использование класса variant, например boost ::variant или std::experimental::variant (если он уже есть в вашей стандартной библиотеке). Таким образом, вам не нужно иметь virtual function() в базовом классе. boost::variant имеет метод which(), который возвращает вас и целое число типа в списке типов. Пример:

#include <boost/variant.hpp>
#include <iostream>
#include <memory>
#include <string>
#include <vector>

class Base {
public:
  virtual ~Base() = default;
};

template <class T> class Derived : public Base {
public:
  void function() {
    std::cout << typeid(T).name() << std::endl;
  }
};

class Test {
public:
  std::vector<boost::variant<Derived<int>, Derived<std::string>>> objects;
};

int main() {
  Test test;
  test.objects.push_back(Derived<int>());
  test.objects.push_back(Derived<std::string>());
  for (auto& obj : test.objects) {
    switch (obj.which()) {
      case 0:
        boost::get<Derived<int>>(obj).function();
        break;
      case 1:
        boost::get<Derived<std::string>>(obj).function();
        break;
    }
  }
  return 0;
}