Создание массива, состоящего из самых больших значений каждого подмассива, не работает должным образом.

Проблема во внутреннем цикле, когда вы пытаетесь найти максимальное значение для каждого массива. На каждой итерации внешнего цикла вы должны сбрасывать long = arr[k][0]. Его не следует сбрасывать на 0, так как максимальное значение может быть меньше 0. Обратите внимание, что это предполагает, что все подмассивы будут иметь хотя бы один элемент.

Как отметил @edc65, объявление long должно происходить в начале функции, чтобы было ясно, что long, как и все локальные переменные, имеет область действия функции.

Вам нужно только одно значение для каждого подмассива. Поэтому вы должны добавлять одно значение для каждой итерации внешнего цикла (main.push должно быть во внешнем цикле). В настоящее время вы добавляете одно значение для каждого элемента подмассива.

В операторе if ваше присваивание инвертируется. Должен быть

long = arr[k][i];

И условие тоже инвертированное. long хранит максимальное значение для каждого подмассива. Поэтому вы обновите его, если найдете значение больше, чем оно:

if(arr[k][i]>long) {
    long = arr[k][i];
}

При вставке в массив используйте круглые скобки, а не квадратные скобки:

main.push(long);

Круглые скобки предназначены для вызова методов. Скобки предназначены для доступа к свойствам объекта.

Окончательный код

function largestOfFour(arr) {
    var main = [];
    var long;
    for(k=0;k<arr.length;k++){
       long = arr[k][0];
         for(i=0;i<arr[k].length;i++){
            if(arr[k][i]>long) {
                long = arr[k][i];
            }
        }
        main.push(long);
    }
    return main;
}

Метод Math.max

Вы можете использовать Math.max для упрощения кода.

function largestOfFour(arr) {
    var main = [];
    for(k=0;k<arr.length;k++){
        var long = Math.max.apply(null, arr[k]);
        main.push(long);
    }
    return main;
}

Согласно @BillyMoon's и @ Tushar, это можно упростить до Array.map.

Я знаю, что вопрос здесь заключается в том, чтобы найти ошибку в существующем коде на случай, если вы захотите оптимизировать код.

Исходная идея принадлежит @thefourtheye. Я просто объясняю это здесь.

Нет необходимости во вложенных циклах, вы можете добиться этого в одной строке.

var arr = [[4, 5, 1, 3], [13, 27, 18, 26], [32, 35, 37, 39], [1000, 1001, 857, 1]];

var result = arr.map(Math.max.apply.bind(Math.max, null));

document.write(result);
console.log(result);

Как это работает?

Функция array.map перебирает каждый из элементов массива, для которого она вызывается. Функция, переданная здесь map, называется apply, ее контекст this привязан к Math.max, а первый аргумент привязан к null.

Math.max.apply.bind(Math.max, null) это в основном вызывает функцию Math.max для массива как

Math.max.apply(null, array);

Обновление:

В ES6 функция стрелки и оператор расширения, его можно сделать еще меньше

arr.map(e => Math.max(...e))

var arr = [[4, 5, 1, 3], [13, 27, 18, 26], [32, 35, 37, 39], [1000, 1001, 857, 1]];

var result = arr.map(e => Math.max(...e));

document.write(result);
console.log(result);

Потенциально более простой метод для достижения того же результата - простота является предпосылкой надежности...

function largestOfFour(arr){
    // assumes compatible browser, or shim: https://developer.mozilla.org/en/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Array/map#Browser_compatibility
    // map array each element into new value based on callback's return
    return arr.map(function(subarr){
        // sort to get highest value at front, and then return it
        return subarr.sort(function(a,b){
            return b-a;
        })[0];
    });
}

или с помощью Math.max (см. комментарии...)

function largestOfFour(arr){
    // assumes compatible browser, or shim: https://developer.mozilla.org/en/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Array/map#Browser_compatibility
    // map array each element into new value based on callback's return
    return arr.map(function(subarr){
        // sort to get highest value at front, and then return it
        return Math.max.apply(null, subarr);
    });
}

Я прошел через код и закончил с другим решением. Первый цикл for проходит по большому массиву, а второй — по компонентам подмассива.

function largestOfFour(arr) {
  var main = [];
  for(k=0;k<arr.length;k++){
     var long=0;
       for(i=0;i<arr[k].length;i++){
          if(long<arr[k][i]) {
              long=arr[k][i];
          }
       }
   main.push(long);
   }
  return main;
}