Теория вероятностей играет фундаментальную роль во многих областях, таких как статистика, машинное обучение, финансы, инженерия и физика. Он обеспечивает строгую основу для работы с неопределенностью, что делает его мощным инструментом для принятия решений и управления рисками. В этой статье обобщаются основные понятия теории вероятностей, объясняя наиболее важные термины и формулы простыми словами.

1. Что такое вероятность?

Вероятность — это математическая основа для рассуждений о неопределенных событиях или процессах, и она имеет множество приложений в различных областях, включая статистику, машинное обучение и искусственный интеллект.

2. Основные положения теории вероятностей

Вероятность основана на трех аксиомах: аксиоме неотрицательности, аксиоме нормализации и аксиоме сложения.

  • Неотрицательность: вероятность события представляет собой неотрицательное действительное число. Это означает, что вероятность любого события никогда не может быть отрицательной.
  • Нормализация: вероятность всего пространства выборки равна единице. Это означает, что если мы рассмотрим все возможные исходы эксперимента, сумма вероятностей всех этих исходов должна быть равна единице.
  • Аддитивность: вероятность объединения двух взаимоисключающих событий равна сумме их вероятностей. Это означает, что если два события являются взаимоисключающими (т. е. они не могут произойти одновременно), то вероятность того, что произойдет любое событие, равна сумме их индивидуальных вероятностей.

Эти аксиомы помогают нам определить вероятностное пространство, которое состоит из выборочного пространства (всех возможных результатов эксперимента), набора событий (подмножеств выборочного пространства) и вероятностной меры, которая присваивает вероятность каждому событию. Вероятностная мера должна удовлетворять трем аксиомам, и любая функция, удовлетворяющая этим аксиомам, является допустимой вероятностной мерой.

3. Как рассчитать вероятность?

Вероятность события можно рассчитать по следующей формуле:

P(A) = количество благоприятных исходов (A) / количество всех возможных исходов

Эта формула предполагает, что все исходы равновероятны.

4. Что такое условная вероятность?

Условная вероятность — это вероятность события при условии, что произошло другое событие, и она рассчитывается по следующей формуле:

p(A|B) = p(A,B) / p(B)

В этом случае вероятность события А зависит от события В и его вероятности.

5. Что такое случайные переменные?

Случайные переменные — это переменные, значения которых неопределенны или случайны, и они являются важным понятием в теории вероятностей.

Дискретные случайные величины могут принимать конечное или счетно бесконечное число значений, в то время как непрерывные случайные величины могут принимать любое значение в непрерывном диапазоне.

6. Что такое распределение вероятностей?

Распределение вероятностей — это функция, описывающая вероятность различных исходов в случайном событии. Он присваивает вероятности всем возможным исходам, при этом вероятностив сумме составляют 1. Распределение вероятностей может быть дискретным или непрерывным, в зависимости от того, является ли случайная величина дискретной или непрерывной.

Дискретное распределение вероятностей — это распределение вероятностей дискретной случайной величины, а непрерывное распределение вероятностей — это распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства распределения вероятностей зависят от конкретной функции распределения и включают такие параметры, как среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс.

7. Априорные и апостериорные распределения

Априорное распределение – это распределение вероятностей, выражающее нашу неопределенность в отношении значения параметра или случайной величины до того, как мы получим какие-либо данные. Он представляет наши убеждения или предположения о значении параметра, основанные на предыдущем опыте или знаниях.

Апостериорное распределение – это обновленное распределение вероятностей, которое выражает нашу неопределенность в отношении значения параметра или случайной величины после того, как мы наблюдаем данные. Он вычисляется с использованием теоремы Байеса, которая позволяет нам обновлять наши предыдущие убеждения на основе наблюдаемых данных, давая нам более информированное и точное представление об истинном значении параметра. Апостериорное распределение является произведением априорного распределения и вероятности данных при заданном значении параметра, нормализованной предельной вероятностью данных.

8. Что такое теорема Байеса и байесовский вывод?

Теорема Байеса – это фундаментальная теорема теории вероятностей, которая позволяет нам обновлять наши представления о событии или гипотезе в свете новых данных. Используя теорему Байеса, мы можем вычислить рассмотренное выше апостериорное распределение:

P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B)

Байесовский вывод — это мощная основа для обновления наших представлений о гипотезах или моделях в свете новых данных или доказательств. Он включает в себя указание априорного распределения для гипотезы или модели, сбор новых данных и использование теоремы Байеса для обновления априорного распределения до апостериорного распределения, отражающего наши обновленные убеждения. Этот процесс можно повторять, чтобы со временем постоянно совершенствовать наши убеждения и модели.

Надеюсь, вам понравилась статья. Спасибо за чтение! :)